Letterstedska priset till brilliant matematik med många tillämpningar

Kungl. Vetenskapsakademien beslutade vid sin ordinarie sammankomst den 9 april att utdela Letterstedtska priset för särskilt maktpåliggande vetenskapliga undersökningar 2008 till Henrik Shahgholian, professor i matematik vid Kungliga Tekniska högskolan.

Prismotiveringen lyder: ”för hans viktiga reslutat om icke-lineära differentialekvationer, speciellt rörande problem med fri rand”.

Differentialekvationer är matematikerns främsta verktyg för att beskriva förändringar. Endast i en helt oföränderlig värld skulle modeller som bygger på detta hjälpmedel vara onödiga. I de enklaste fallen beror en process av bara en variabel, till exempel tiden. Den kan då beskrivas med hjälp av en vanlig differentialekvation. Men mer sammansatta fenomen beror på flera variabler, kanske tiden och dessutom en, två eller tre rumsvariabler. För sådana processer är de partiella differentialekvationerna ett oumbärligt hjälpmedel, och de är mycket vanliga i matematiska beskrivningar av fenomen i naturen, liksom inom teknik och finansiell matematik.

Teorin för dessa partiella differentialekvationer har en lång historia. Resultaten är dock bäst kända när ekvationerna är lineära. Det betyder, grovt uttryckt, att om vi har två lösningar, så kan vi lägga ihop dem och få en tredje lösning. I det icke-lineära fallet är det inte längre så: två lösningar kan ge upphov till en tredje, men på ett mycket mer komplicerat sätt. Väsentligt mindre är känt om sådana ekvationer. Icke desto mindre utgör de viktiga modeller för många fenomen i den verkliga världen, till exempel atmosfärens rörelser, havets strömmar och alla andra rörelser av vätskor och gaser.  Med hjälp av den icke-lineära Navier-Stokes ekvation beskriver man vätskors och gasers rörelser. Ekvationen används för att göra väderprognoser, beräkna havsströmmar, vattenflöden och luftens rörelser runt ett flygplan eller en bil, liksom stjärnornas rörelser i en galax och blodflödet i människokroppen.

Ofta ges viktiga data för att bestämma en lösning i form av värden på områdets rand. Om vi till exempel studerar vädret, så är markytan en sådan rand, där det inte finns någon vertikal vind och där ett visst värmeutbyte sker. Under den tid vi studerar vädret kan vi anse jordytan vara fix, och vi kan anse att den vertikala vinden är noll. Allt detta blir helt annorlunda om vi studerar hur tjälen går ur jorden. Då finns det ett gränsskikt som varierar mellan tjälen och den tinade jorden; detta skikt kan inte antas vara fixt. Ett problem av denna typ kallas ett problem med fri rand.

De fysikaliska egenskaperna hos materialet ändras när vi går från is till vatten eller från smält metall till metall i fast form. På samma sätt sker fasövergångar i ekonomiska modeller när optioner löses in. Problem med fri rand förekommer därför också i finansiell matematik. På senare år har Shahgholian börjat anpassa sina metoder för tillämpningar inom finansiell matematik, men metoderna har fortsatt stor relevans inom naturvetenskap och teknik. Trots att hans resultat från de senaste tre åren rörande fria randproblem är färska har de redan fått stort inflytande på utvecklingen av detta område.

Prissumman uppgår till 100 000 kr. Datum för utdelning är ännu inte fastställt.